设计规范

有损分解

有损分解（lossy decomposition）：无法通过自然连接重建原始关系元组的分解

将 employee(ID, name, street, city, salary)分解为 employee_attr1(ID, name)和 employee_attr2(name, street, city, salary)

name 无法作为 employee_attr2 关系的主码，有可能会重名

无损分解

无损分解（lossless decomposition）：可以通过自然连接重建原始关系元组的分解

$$
r=\prod_{A,B}(r)\bowtie \prod_{B,C}(r)
$$

函数依赖

成立条件

假设 $r(R)$ 是一个关系模式，$\alpha\subseteq R,\beta\subseteq R$，模式 $R$ 上的函数依赖：

$$
\alpha \rightarrow \beta
$$

成立条件为：对于任意关系实例 $r$ 中任意两个元组 $t_1$ 和 $t_2$，若两者的属性（集）$\alpha$ 取值相同，那么它们的属性（集）$\beta$ 取值也相同，即：

$$
t_1[\alpha]=t_2[\alpha] \Rightarrow t_1[\beta]=t_2[\beta]
$$

称为 $\alpha$ 函数确定 $\beta$；$\beta$ 函数依赖于 $\alpha$

函数依赖和码

超码

在某个关系中，一个或多个元素的集合 ${A_1,A_2,\dots,A_n}$ 函数决定该关系中的其他全部属性，则称该属性为该关系的超码

若属性组 $K$ 满足 $K\Rightarrow R$，则 $K$ 是关系模式 $R$ 的超码（$K$ 函数确定 $R$）

候选码

若集合 ${A_1,A_2,\dots,A_n}$ 的任何真子集均不能函数决定该关系中的其他属性，则此时集合 ${A_1,A_2,\dots,A_n}$ 是最小的超码，即候选码

$$
K\rightarrow R: \text{且不存在}: \alpha\subset K: \text{满足}: \alpha \rightarrow R
$$

外码

若关系模式 $R$ 中属性（组）$X$ 是另一类关系模式的主码，则称 $X$ 是 $R$ 的外码

函数依赖是码的概化

概念	决定什么？	形式
码（Key）	一个属性集唯一确定整条记录	$K\rightarrow R$
函数依赖（FD）	一个属性集唯一确定另一属性集	$X\rightarrow Y,\text{其中} Y\subseteq R$

函数依赖使用

函数依赖在关系实例和关系模式上的体现区别：

如果关系实例 $r$ 在函数依赖集 $F$ 上合法，则称 $r$ 满足 $F$
如果模式 $R$ 上的所有合法关系实例都满足函数依赖集 $F$，则 $F$ 在关系模式 $R$ 上成立

注意：即使函数依赖并没有对关系模式 $r(R)$ 的所有合法实例成立，这个关系模式的其中一个具体实例 r 可能满足函数依赖

平凡

有些函数依赖被称为平凡(trivial)的，因为它们在所有关系中都是满足的（用于描述在函数依赖中一种必然成立、无需额外信息即可判断为真的情况）

例如：name -> name；ID, name -> ID

通常，如果 $\beta \subseteq \alpha$，那么 $\alpha \rightarrow \beta$ 是平凡的函数依赖

若 $\alpha \rightarrow \beta$，则称 $\alpha$ 为决定因素
若 $\alpha \rightarrow \beta$ 但 $\beta \not\subseteq \alpha$，则 $\alpha \rightarrow \beta$ 是非平凡的函数依赖

部分依赖：函数依赖 $\alpha \rightarrow \beta$ 称为部分依赖的条件是：存在 $\alpha$ 的真子集 $\gamma$，使得 $\gamma \rightarrow \beta$

平凡的例子：
- ${A, B} \rightarrow A$：因为 $A \subseteq {A, B}$，所以这是平凡的。
- ${A, B, C} \rightarrow {B, C}$：右边是左边的子集，平凡。
- $A \rightarrow A$：最简单的平凡依赖。
非平凡的例子：
- ${A, B} \rightarrow C$：如果 $C \notin {A, B}$，这就是非平凡的函数依赖。
- $A \rightarrow B$（且 $B \neq A$）：也是非平凡的。
完全非平凡（有时也称“真正非平凡”）：
- 如果 $\alpha \cap \beta = \emptyset$（即左右两边没有公共属性），则称为完全非平凡的函数依赖
- 例如：${\text{学号}} \rightarrow {\text{姓名}}$，通常学号和姓名无交集，属于完全非平凡。
平凡的函数依赖总是成立，无论数据内容如何。它们不携带任何关于数据语义的有用信息。
在研究函数依赖的推理（如 Armstrong 公理）、计算闭包或进行规范化时，我们主要关注非平凡的函数依赖，因为它们反映了数据之间的实际约束。
数据库设计和规范化过程中，可以忽略平凡依赖，重点分析非平凡依赖是否导致冗余或异常。

平凡函数依赖 = 右边 ⊆ 左边 → 必然成立，无信息量。

非平凡函数依赖 = 右边 ⊈ 左边 → 可能反映真实业务规则，需重点关注。

闭包

函数依赖的闭包（Closure）是关系数据库规范化理论中的一个核心概念，主要用于：

判断某个函数依赖是否被隐含（即是否可以从已知依赖推导出来）；
计算属性集的“决定能力”；
求候选码；
进行模式分解等。

闭包分为两类：

函数依赖集的闭包 $F^+$
属性集的闭包 $X^+$

函数依赖集的闭包

给定一个关系模式 $R$ 和其上的一组函数依赖 $F$，$F^+$（读作 “F plus”）表示 由 $F$ 逻辑蕴含（可推导出）的所有函数依赖的集合。

换句话说，$F^+$ 是在 Armstrong 公理系统下，从 $F$ 出发能推导出的所有合法函数依赖的全集。

$F \subseteq F^+$
$F^+$ 可能非常大（指数级），通常不显式计算整个 $F^+$。
实际应用中更常使用 属性集的闭包 来间接判断某个 FD 是否属于$F^+$。

属性集的闭包

这是最常用、最实用的闭包概念。

给定属性集 $X \subseteq R$ 和函数依赖集 $F$，$X^+$（读作 “X plus”）表示 在 $F$ 的约束下，由 $X$ 函数决定的所有属性的集合。

即：

$$
X^+ = { A \in R \mid X \rightarrow A \text{ 被 } F \text{ 逻辑蕴含} }
$$

逻辑蕴含

函数依赖的逻辑蕴含（Logical Implication of Functional Dependencies）回答了这样一个问题：给定一组已知的函数依赖 $F$ ，能否推导出另一个函数依赖 $X\rightarrow Y$

如果能，就认为：$F$ 逻辑蕴含 $X\rightarrow Y$

记作：

$$
F \models X \rightarrow Y
$$

推理规则

Armstrong 公理：

自反律：如果 $\beta \subseteq \alpha$，则有 $\alpha \rightarrow \beta$
增补律：如果 $\alpha \rightarrow \beta$，则有 $\gamma \alpha \rightarrow \gamma\beta$
传递律：如果 $\alpha\rightarrow\beta$ 且 $\beta\rightarrow\gamma$，则有 $\alpha\rightarrow\gamma$

可以使用 Armstrong 公理推导函数依赖集的闭包

$F^+$：相当于可达边集
$X^+$：相当于可达点集

计算 $F^+$

从 $F$ 出发
遍历现有函数依赖集中的单个函数依赖，应用自反律和增补律
遍历现有函数依赖集中的一对函数依赖，应用传递律（if can）
重复，直到结果不再变化

二级定理：

合并律：若有 $\alpha\rightarrow\beta$ 且 $\alpha\rightarrow\gamma$，则有 $\alpha\rightarrow\beta\gamma$
分解律：若有 $\alpha\rightarrow\beta\gamma$，则有 $\alpha\rightarrow\beta$ 且 $\alpha\rightarrow\gamma$
伪传递律：若有 $\alpha\rightarrow\beta$ 且 $\gamma\beta\rightarrow\delta$，则有 $\alpha\gamma\rightarrow\delta$

计算 $X^+$

遍历函数依赖集 $F$，所有出现在 $F$ 中的函数依赖（记为 $\alpha\rightarrow\beta$），若 $\alpha$ 出现在给定的属性集 $X$ 中，则将其加入 $X^+$

result := x
while (result is changed) {
	for each a->b in F {
		if a in result {
			result += b
		}
	}
}
return result

用途

判断超码：如果 $X^+$ 包含 $R$ 中所有属性，则 $X$ 为超码
验证函数依赖：
- 检验函数依赖 $\alpha\rightarrow\beta$ 是否成立（即是否在 $F^+$ 中）
- 只需计算 $X^+$，查看是否包含 $\beta$
计算 $F$ 闭包：
- 对于 $\alpha\subseteq R$，计算闭包 $\alpha^+$
- 遍历 $\alpha^+$（即对任意 $\beta\subseteq\alpha^+$），输出一个函数依赖 $\alpha\rightarrow\beta$

规范化（Normalization）

目标

在关系模式不是“好”的情况下，将其分解为关系模式集 ${R_1,R_2,\dots,R_n}$，关系模式集满足：

每个关系模式都是“好”的：无数据冗余，符合一定范式
分解是无损连接分解
最好能使分解保持依赖

范式 Normal Form

$$
1NF\subset 2NF \subset 3NF \subset BCNF \subset 4NF \subset 5NF
$$

某一关系模式 $R$ 最高属于第 $n$ 范式，则可称为 $R\in nNF$

第一范式

如果某个域的元素被认为是不可分的单元，那么这个域就是原子的
如果一个关系模式 $R$ 的所有属性域都是原子的，称关系模式 $R$ 属于第一范式
非原子的值会造成复杂存储和数据冗余

第二范式

建立在第一范式（1NF）的基础上，旨在消除部分函数依赖，从而减少数据冗余和更新异常

若关系模式 $R\in 1NF$，且在 $F^+$ 中每一个非主属性完全函数依赖于候选码，则 $R\in 2NF$

部分依赖

如果主键是复合的（比如由两个或更多属性组成），
而某个非主属性只由主键的一部分决定，而不是整个主键，
这就是“部分依赖”。

选课(学号, 课程号, 学生姓名, 课程名称, 成绩)

候选码：{学号，课程号}；非主属性：学生姓名、课程名称、成绩

{学号，课程号}->成绩：完全依赖
学号->学生姓名：部分依赖
课程号->课程名称：部分依赖

问题：

学生姓名随学号重复存储（选了多门课就存多次）→ 数据冗余
修改学生姓名需更新多行 → 更新异常
删除某门课可能误删学生信息 → 删除异常

第三范式

在第二范式（2NF）的基础上进一步消除传递函数依赖，从而更有效地减少数据冗余和更新异常

对 $F^+$ 中所有形如 $\alpha\rightarrow\beta$ 的函数依赖中，至少有以下条件之一成立：

$\alpha\rightarrow\beta$ 是一个平凡的函数依赖（即 $\beta\subseteq\alpha$）
$\alpha$ 是 $R$ 的一个超码
$\beta-\alpha$ 中的每个属性 $A$ 都包含在 $R$ 的候选码中（可能包含在不同的候选码）

第三个条件是 BCNF 的一个最小放宽：3NF 允许主属性被非超码决定，而 BCNF 不允许。

Student(学号, 姓名, 系名, 系主任)

函数依赖：

学号->系名
系名->系主任

学号是候选码，系名、系主任是非主属性。系主任不直接依赖于候选码，而是通过系名传递依赖于候选码

这种依赖会导致：

同一系的所有学生都重复存储“系主任” → 冗余；
更换系主任需更新多行 → 更新异常。

Boyce-Codd 范式（BCNF）

BC 范式比第三范式（3NF）更严格，旨在彻底消除由函数依赖引起的冗余和异常。不仅处理非主属性，还要确保所有属性（包括主属性） 都不会因非超码的决定因素而产生冗余。

一个关系模式 $R$ 属于 BCNF，当且仅当：对于 $R$ 上的每一个非平凡的函数依赖 $X \rightarrow Y$ （即 $Y \not\subseteq X$）

$X$ 必须是 $R$ 的一个超码

特性	第三范式（3NF）	BCNF
要求	对每个 FD $X \rightarrow A$，满足： 1. $X$ 是超码，或 2. $A$ 是主属性（属于某个候选码）	对每个 FD $X \rightarrow A$，必须满足： $X$ 是超码
宽松程度	较宽松（允许主属性被非超码决定）	更严格（不允许任何非超码作为决定因素）
冗余控制	可能仍有少量冗余（主属性间）	基本消除所有由 FD 引起的冗余

函数依赖理论

正则覆盖

函数依赖集可能存在冗余依赖（这些依赖可以从其他依赖中推导出来）
函数依赖集的一部分也可能是冗余的

令 $F$ 的正则覆盖 $F_c$ 没有任何冗余依赖或存在冗余部分的依赖

$F_c$ 具有和 $F$ 相同的函数依赖集闭包。其意义在于：验证 $F_c$ 比验证 $F$ 更加容易、3NF 算法必备

${A\rightarrow B,B\rightarrow C, A\rightarrow C}$

其中 $A\rightarrow C$ 是冗余的，可以由另两个函数依赖推出

${A\rightarrow B,B\rightarrow C, A\rightarrow CD}$

可以简化为 ${A\rightarrow B,B\rightarrow C, A\rightarrow D}$

${A\rightarrow B,B\rightarrow C, AC\rightarrow D}$

可以简化为 ${A\rightarrow B,B\rightarrow C, A\rightarrow D}$

无关属性

如果去除函数依赖中的一个属性不改变该函数依赖集的闭包，则称该属性是无关属性（extraneous）

形式化定义：考虑函数依赖集 $F$ 及 $F$ 中的函数依赖 $\alpha\rightarrow\beta$

如果 $A\in \alpha$ 且 $F$ 逻辑蕴含$(F-{\alpha\rightarrow \beta})\cup {(\alpha-A)\rightarrow \beta}$，则属性 $A$ 在 $\alpha$ 中是无关的
如果 $A\in \beta$ 且函数依赖集 $(F-{\alpha\rightarrow \beta})\cup {\alpha\rightarrow (\beta-A)}$ 逻辑蕴含 $F$，则 $A$ 在 $\beta$ 中是无关的

也就是去掉该函数依赖，或者去掉函数依赖一侧的元素 $A$，这样形成的函数依赖仍然能保持闭包不变

给定 $F={A\rightarrow C, AB\rightarrow C}$

对于 $AB\rightarrow C$ 去掉 $B$，得到 $A\rightarrow C$，因为 ${A\rightarrow C, AB\rightarrow C}$ 逻辑蕴含 $A\rightarrow C$，所以 $B$ 是 $AB\rightarrow C$ 中的无关属性

给定 $F={A\rightarrow C, AB\rightarrow CD}$

对于 $AB\rightarrow CD$，去掉 $C$ 得到 $AB\rightarrow D$，再加上原来的 ${A\rightarrow C}$，得到的新函数依赖集逻辑蕴含 $F$，即 $C$ 是 $AB\rightarrow CD$ 的无关属性

无关属性的验证

考虑函数依赖集 $F$ 及 $F$ 中的函数依赖 $\alpha\rightarrow\beta$

验证属性 $A\in \alpha$

使用 $F$ 中的函数依赖计算属性集闭包 $(\alpha-A)^+$
如果该属性集闭包中包含 $\beta$，则 $A$ 在 $\alpha$ 中是多余属性

验证属性 $A\in \beta$

使用函数依赖集 $F’=(F-{\alpha\rightarrow\beta})\cup {\alpha\rightarrow (\beta-A)}$ 计算 $\alpha’^+$
如果 $\alpha^+$ 包含 $A$，则 $A$ 在 $\beta$ 中是多余属性

正则覆盖的计算

Fc = F
do {
	使用合并律将 Fc 中的 a1->b1 和 a1->b2 替换为 a1->b1b2（寻找左侧相同）
	在 Fc 中找出在 a 或 b 中含无关属性的函数依赖 a->b
	若发现无关属性，将其从 Fc 的 a->b 中删除
} while (Fc is changed);

$F$ 的正则覆盖 $F_c$ 是一个函数依赖集，具有如下特性：

$F$ 逻辑蕴涵 $F_c$ 中的所有函数依赖
$F_c$ 逻辑蕴涵 $F$ 中的所有函数依赖
$F_c$ 中任何函数依赖都不含无关属性
$F_c$ 中函数依赖的左半部都是不同的

示例：$R = (A, B, C),F = { A \rightarrow BC，B \rightarrow C，A \rightarrow B，AB \rightarrow C }$

初始化 $F_c=F={ A \rightarrow BC，B \rightarrow C，A \rightarrow B，AB \rightarrow C}$

寻找左侧相同的函数依赖：$A\rightarrow BC$ 和 $A\rightarrow B$，替换为 $A\rightarrow BC$，此时 $F_{c1}={ A \rightarrow BC，B \rightarrow C，AB \rightarrow C}$

寻找无关属性，先尝试删去左侧元素，再删去右侧元素

对于 $AB\rightarrow C$，$\alpha=AB,\beta=C$
- 删去 $A$，对 $(AB-A)^+=B$ 用 $F$ 中的函数依赖计算属性闭包
  - $R’={B,C}$，$R’$ 包含 $C$，即 $R’$ 逻辑蕴含 $\beta$
  - 所以 $A$ 是该函数依赖的无关属性，删去得到 $B\rightarrow C$
  - 更新 $F_{c2}={A\rightarrow BC, B\rightarrow C}$
- 也可以删去 $B$，也可以得到 $B$ 是无关属性，因为本质上都可以由 $A\rightarrow BC$ 推理得到，二者选一即可
对于 $A\rightarrow BC$：$\alpha=A,\beta=BC$
- 删去 $B$，对 $F’=(F-{A\rightarrow BC})\cup {A\rightarrow C}={A\rightarrow C, B\rightarrow C}$ 计算属性闭包（删除原本函数依赖，加上新函数依赖）
  - $R’’={A,B,C}$ 包含 $B$，所以 $B$ 是无关属性
  - 更新 $F_{c3}={A\rightarrow B, B\rightarrow C}$

最后结果即为：$F_{c}={A\rightarrow B, B\rightarrow C}$

无损分解

对于 $R=(R_1,R_2)$，要求模式 $R$ 上的所有可能关系 $r$ 都有：

$$
r=\prod_{R_1}(r)\bowtie \prod_{R_2}(r)
$$

如果下面的依赖中至少有一个属于 $F^+$，那么将 $R$ 分解为 $R_1$ 和 $R_2$ 是无损连接分解：

$R_1\cap R_2\rightarrow R_1$
$R_1\cap R_2\rightarrow R_2$
$R_1\cap R_2$ 是 $R_1$ 或 $R_2$ 的超码

上述函数依赖测试只是无损连接分解的一个充分条件；只有当所有约束都是函数依赖时，它才是必要条件

$R={A,B,C},F={A\rightarrow B, B\rightarrow C}$

方式一：$R_1=(A,B),R_2=(B,C)$

检验：$R_1\cap R_2={B},B\rightarrow BC$

方式二：$R_1=(A,B),R_2=(A,C)$

检验：$R_1\cap R_2={A},A\rightarrow AB$

保持依赖

$F$ 为模式 $R$ 上的一个函数依赖集，$R_1 ,R_2 , \dots, R_n$ 为 $R$ 的一个分解。$F$ 在 $R_i$ 上的限定是 $F ^+$ 中所有只包含 $R_i$ 中属性的函数依赖的集合$F_i$

令 $F’=F_1\cap F_2\cap\dots\cap F_n$，$F’$ 是模式 $R$ 上的一个函数依赖集

如果 $(F’)^+=F^+$ 成立，则该分解是保持依赖的
具有上述性质的分解称为保持依赖的分解

即不需要进行表的连接，就可以查询到每个函数依赖对应的数据

检验

当 $R$ 分解成 $R_1 ,R_2 , \dots, R_n$ 后，验证每一个函数依赖 $\alpha\rightarrow\beta$ 是否被保持：

result = a
while (result is changed) {
	for each Ri {
		t = (result ∩ Ri)^+ ∩ Ri
		result = result ∪ t
	}
}

如果 result 包含 $\beta$ 中的所有属性，那么函数依赖 $\alpha\rightarrow\beta$ 被保持

$R={A,B,C},F={A\rightarrow B, B\rightarrow C}$

方式一：$R_1=(A,B),R_2=(B,C)$，保持依赖

方式二：$R_1=(A,B),R_2=(A,C)$，不保持依赖

BCNF 分解算法

BCNF 是关系数据库规范化中的一种高级范式，用于消除函数依赖引起的冗余和异常。一个关系模式 $R$ 属于 BCNF，当且仅当对于其每一个非平凡的函数依赖 $X \rightarrow Y$，$X$ 都是 $R$ 的超码。

当关系模式不满足 BCNF 时，可通过以下步骤进行无损连接的 BCNF 分解：

分解步骤

输入：一个关系模式 $R$ 及其函数依赖集 $F$
输出：$R$ 的一个 BCNF 分解 $\rho = {R_1, R_2, \dots, R_n}$，满足无损连接性
检查当前关系模式 $R$ 是否满足 BCNF：
- 对 $F^+$ 中的每一个非平凡函数依赖 $X \rightarrow Y$：
  - 若 $X$ 不是 $R$ 的超码，则 $R$ 不满足 BCNF，需进行分解
若 R 不满足 BCNF：
- 找到一个违反 BCNF 的函数依赖 $X \rightarrow Y$（即 $X$ 不是超码）
- 将 $R$ 分解为两个子模式：
  - $R_1 = X \cup Y$
  - $R_2 = R − (Y − X)$（即保留 $X$ 和其余不在 $Y$ 中的属性）
- 对 $R_1$ 和 $R_2$ 分别递归执行 BCNF 分解
若 $R$ 已满足 BCNF：
- 将 $R$ 加入结果分解集合 $\rho$
最终得到的分解 $\rho$ 满足：
- 每个子模式都属于 BCNF
- 分解具有无损连接性（但不一定保持函数依赖）

注意事项

BCNF 分解总是可以达到无损连接，但可能无法保持所有原始函数依赖
分解结果可能不唯一，取决于选择违反 BCNF 的函数依赖的顺序
实际应用中，若保持依赖更重要，可考虑使用 3NF 而非 BCNF

示例

$R=(A, B, C, D, E),F={A\rightarrow BC,CD\rightarrow E,B\rightarrow D,E\rightarrow A}$

对于每个函数依赖，判断左侧是否为 $R$ 的超码

先找出所有超码：$(A),(E),(CD)$，就是判断能否从一个左侧元素集开始扩展到整个模式 $R$

所以只有 $B\rightarrow D$ 左侧不是 $R$ 的超码，不满足 BCNF，需要进行分解

分解为：

$R_1=X\cup Y={B,D}$
$R_2=R-(Y-X)={A,B,C,E}$

根据新的模式集和 $F$，判断是否满足 BCNF，注意此时的 $F$ 需要根据新的模式集删去不存在的元素

如：

对于 $R_1$，$F_1={B\rightarrow D}$，因为其他 $A,C,E$ 都不存在了，而 $B$ 是 $F_1$ 的超码，所以 $R_1$ 满足 BCNF，不需要再分解
对于 $R_2$，$F_2={A\rightarrow BC, E\rightarrow A}$，可以发现 $E$ 是超码，但是 $A$ 不是，所以对于 $A\rightarrow BC$ 还需要进行分解

分解：

$R_{21}=X\cup Y={A, B, C}$，$F_{21}={A\rightarrow BC}$，$A$ 为超码，满足 BCNF
$R_{22}=R_{2}-(Y-X)={A,E}$，$F_{22}={E\rightarrow A}$，$E$ 为超码，满足 BCNF

所以综上，需要将 $R$ 分解为：${(B,D),(A,B,C),(A,E)}$

3NF 分解

第三范式（3NF）是关系数据库规范化中的一个重要级别，它在保留函数依赖的前提下，有效减少数据冗余和更新异常。一个关系模式 $R$ 属于 3NF，当且仅当对于其每一个非平凡函数依赖 $X \rightarrow A$（其中 $A$ 是单个属性），以下至少一项成立：

$X$ 是 $R$ 的超码，或
$A$ 是主属性（即 $A$ 属于某个候选码）

与 BCNF 不同，3NF 允许某些非超码决定主属性，因此更容易在保持函数依赖的同时实现无损连接分解。

分解目标

输入：关系模式 $R$ 及其函数依赖集 $F$
输出：$R$ 的一个分解 $\rho = {R_1, R_2, \dots, R_k}$，满足：
- 每个 $R_i$ 属于 3NF
- 分解具有无损连接性
- 分解保持函数依赖

分解步骤（基于规范覆盖的合成算法）

计算 $F$ 的最小覆盖（也称规范覆盖）$F_c$：
- 合并右部相同的依赖（如 $X\rightarrow A$, $X\rightarrow B$ 合并为 $X\rightarrow AB$）
- 去除左部冗余属性（若 $(X−A)\rightarrow Y$ 仍能推出原依赖，则 $A$ 冗余）
- 去除冗余依赖（若移除某依赖后 $F^+$ 不变，则该依赖冗余）
对 $F_c$ 中的每个函数依赖 $X \rightarrow A_1A_2\dots A_n$：
- 创建一个关系模式 $R_i = X \cup {A_1, A_2, \dots, A_n}$
检查是否已有模式包含 $R$ 的某个候选键：
- 若没有，则任选一个候选键 $K$，添加一个新关系模式 $R_k = K$
（可选）去除被其他模式包含的关系模式（即若 $R_i \subseteq R_j$，则删除 $R_i$）

特点说明

该算法保证分解结果既保持函数依赖又具有无损连接性
所有生成的子模式自动满足 3NF
最小覆盖确保了分解的简洁性和无冗余
添加候选键是为了保证无损连接（因为仅靠依赖可能无法覆盖全部属性或重建原关系）